M A T E M A T I K A
MODUL 6
MATERI POKOK
T U R U N A N
KELAS : XI IPA
SEMESTER : 2 (DUA)
OLEH :
ENDRAWITA
NIM. 1104002
Blog:
endrawita.blogspot.com
Email:
witaendra@yahoo.co.id
SMA NEGERI 4 KERINCI
KECAMATAN SIULAK
KABUPATEN KERINCI
2012
TURUNAN FUNGSI
PENGANTAR :
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa
agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul
ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika
akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR
KOMPETENSI
: 6. Menggunakan konsep limit
fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
perhitungan turunan
fungsi
6.2
Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan
masalah
6.3 Merancang model matematika dari masalah
yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi
6.4 Menyelesaikan
model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya
INDIKATOR :
1. Menghitung turunan
fungsi dengan menggunakan definisi turunan.
2. Menentukan turunan
suatu fungsi di satu titik tertentu.
3. Menentukan laju
perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya.
4. Menentukan turunan
fungsi aljabar dan trigonometri.
5. Menentukan turunan
fungsi komposisi dengan aturan rantai.
6. Menentukan persamaan
garis singgung pada suatu kurva.
7. Mengerjakan soal
dengan baik yang berkaitan dengan cara menghitung turunan fungsi dengan
menggunakan definisi turunan, menggunakan teorema-teorema umum turunan untuk
menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di suatu titik dan tak
hingga, cara menghitung turunan fungsi
komposisi dengan aturan rantai, dan menentukan persamaan garis singgung pada
kurva di suatu titik.
8. Menentukan selang
dimana suatu fungsi naik atau turun.
9. Menentukan titik
stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya.
10. Mensketsa grafik fungsi.
11. Menggunakan turunan dalam
perhitungan kecepatan dan percepatan.
12. Menentukan limit fungsi
bentuk tak tentu.
13. Mengerjakan soal dengan
baik yang berisi materi yang berkaitan dengan cara menentukan selang dimana
fungsi naik atau turun, menentukan titik stasioner dan jenisnya, mensketsa
grafiknya, dan cara penggunaan turunan dalam menghitung kecapatan, percepatan,
limit fungsi bentuk tak tentu
dan lainnya .
14. Menentukan
penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan
minimum.
15. Mengerjakan soal
dengan baik yang berisi materi berkaitan
dengan cara menyelesaikan masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui
dan tidak diketahui.
TUJUAN
PEMBELAJARAN :
a. Peserta didik dapat menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi
turunan. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja
keras. Disiplin. Demokratis);
b. Peserta
didik dapat menentukan turunan suatu fungsi di satu titik tertentu. (nilai yang ditanamkan:
Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
c. Peserta
didik dapat menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. (nilai
yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
d. Peserta didik dapat menentukan turunan fungsi
aljabar dan trigonometri. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja
keras. Disiplin. Demokratis);
e. Peserta didik dapat menentukan turunan fungsi
komposisi dengan aturan rantai. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja
keras. Disiplin. Demokratis);
f. Peserta
didik dapat menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva. (nilai yang ditanamkan:
Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
g. Peserta didik dapat menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun. (nilai yang ditanamkan:
Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
h. Peserta didik dapat menentukan titik stasioner suatu fungsi
beserta jenis ekstrimnya. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja
keras. Disiplin. Demokratis);
i. Peserta didik dapat mensketsa grafik fungsi. (nilai yang ditanamkan:
Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
j. Peserta didik dapat menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan
dan percepatan. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja
keras. Disiplin. Demokratis);
k. Peserta didik dapat menentukan
limit fungsi bentuk tak tentu. (nilai yang ditanamkan: Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
l. Peserta didik dapat menentukan penyelesaian dari
model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum. (nilai yang ditanamkan:
Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Disiplin. Demokratis);
KEGIATAN BELAJAR :
I.
Judul sub kegiatan belajar :
1.
Pengertian
Turunan Fungsi
2.
Rumus-rumus
Turunan Fungsi
3.
Turunan Fungsi
Trigonometri
4.
Dalil
Rantai
5.
Garis
Singgung
6.
Fungsi
Naik dan Turun
7.
Menggambar
grafik fungsi
II. Uraian
materi dan contoh
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f
(x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy
= df(x) dan di definisikan
:
dx dx
y’
= f’(x) = lim f(x
+ h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x)
h→0 h dx h→0 h
Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3
Jawab:
f(x) = 4x – 3
f( x + h) = 4(x + h) – 3
= 4x + 4h -3
Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = 3x2
Jawab :
f(x) = 3x2
f(x + h) = 3 (x + h)2
= 3 (x2 +
2xh + h2)
= 3x2 + 6xh
+ 3h2
Sehingga :
Latihan
Dengan definisi di atas tentukan nilai
turunan berikut:
- f(x) = 6 – 2x
- f(x) = 5x2 +2x
-
- f(x) = 2x3
RUMUS-RUMUS
TURUNAN
1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x)
= anxn-1 atau 
= anxn-1
= anxn-1
2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real
dan n bilangan Rasional berlaku
a. y = ± v → y’
= v’ ± u’
b. y = c.u → y’
= c.u’
c. y = u.v → y’
= u’ v + u.v’
d. 
e. y = un → y’ = n. un-1.u’
Contoh:
Soal ke-1
Jika f(x) = 3x2
+ 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah ….
Pembahasan
f(x) = 3x2 + 4
f1(x) = 3.2x
= 6x
Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2
+ 12x2 – 8x + 4 adalah …
Pembahasan
f(x) =
2x3 + 12x2 – 8x + 4
f1(x) = 2.3x2 + 12.2x – 8
= 6x2 + 24x -8
Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah
…
Pembahasan
f(x) =
(3x-2)(4x+1)
f(x)
= 12x2 + 3x – 8x – 2
f(x) =
12x2 – 5x – 2
f1(x) =
24x – 5
Soal ke- 4
Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai
f1(x) adalah …
Pembahasan
f(x) =
(2x – 1)3
f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)
f1(x) = 6(2x – 1)2
f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)
f1(x) = 24x2 – 24x +
6
Soal ke- 5
Turunan pertama dari f(x) = (5x2
– 1)2 adalah …
Pembahasan
f(x) =
(5x2 – 1)3
f1(x) = 2(5x2 – 1)
(10x)
f1(x) = 20x (5x2 – 1)
f1(x) = 100x3 – 20x
Soal ke- 6
Turunan pertama dari f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2) adalah …
Pembahasan
f(x) =
(3x2 – 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal :
U = 3x2 – 6x
U1 = 6x – 6
V = x
+ 2
V1
= 1
Sehingga:
f’(x)
= U’ V + U V’
f1(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1
f1(x) = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x
f1(x) = 9x2 – 12
Cara 2:
f(x) =
(3x2 – 6x) (x + 2)
f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x
f1(x) = 9x2+12x –12x – 12
f1(x) = 9x2 – 12
MODUL STATISTIK DAN PELUANG, compiled by: ENDRAWITA, S.Pd
Latihan soal.
Tentukan turunan dari
TURUNAN
FUNGSI TRIGONOMETRI
Dengan menggunakan
definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :
- f(x) = sin x
Yaitu :
- f(x) = cos x
Yaitu :
Jadi diperoleh
rumus turunan fungsi trigonometri :
1.
a. f(x) =
sin x → f’ (x) = cos x
b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x
2.
a. f(x) =
sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )
b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin
(ax + b )
dan jika u suatu fungsi maka:
3.
a. f(x) =
sin u → f’(x) = u’ cos u
b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u
Contoh :
Tentuka turunan dari:
a.
f(x) = 3
sin x + 2 cos x
b.
f(x) = sin
(5x – 2)
c.
f(x) = tan
x
jawab:
a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x
f’(x) = 3 cos x - 2 sin x
b. f(x) = sin (5x – 2)
f’ (x) = 5 cos (5x – 2 )
c. f(x) = tan x =
missal : u = sin x → u’ = cos x
v = cos x → v’ = - sin x
Latihan soal :
Tentukan turunan dari fungsi berikut :
DALIL
RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN
Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)).
g’(x)
Jika g(x) = u→ g’ (x) =
dan f(g(x)) =
f(u) → y = f(u) →
= f’(u) =
f’(g(x))
Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat
dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi
Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika
y = f ( u(v)) maka:
Contoh:
Dengan notasi Leibniz tentukan turunan dari
:
Jawab:
b.
Latihan soal :
GARIS
SINGGUNG PADA KURVA
|
 |
3.
Fungsi f
disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0
4.
Fungsi f
disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0
Contoh
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2
+ 15x + 4 merupakan :
- Fungsi naik
- Fungsi turun
Jawab:
 |
Latihan soal:
1. Tentukan pada interval mana fungsi
berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = x2
– 6x
b. f(x) =
x3 + 4x2 – 20x + 2
c. f(x) = (x2
-1) (x+1)
2. Tunjukkan
bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah
turun.
NILAI
STASIONER
 |
Jenis – jenis nilai stasioner
 |
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum
f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))
disebut titik balik minimum.
Contoh :
Tentukan titik
stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x
Jawab : f(x) = x2
+ 2x
f’(x) = 2x + 2
= 2(x + 1)
Nilai stasioner
didapat dari f’(x) = 0
2(x + 1) = 0
x = -1
f(-1) = (-1)2
+ 2(-1) = -1
Jadi diperoleh
titik stasioner (-1,-1)
Latihan
1.
Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut :
MENGGAMBAR
GRAFIK FUNGSI
Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada
beberapa langkah sebagai berikut :
- Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
- Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
- tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
- tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.
Contoh :
Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3,
tentukan :
- Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.
- Nilai stasioner dan titik stasioner.
- Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.
- Titik Bantu
Jawab:
b. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0
f’ (x) = 3 – 3x2
↔ 3 (1 - x 2)
↔ 3 (1 – x) (1 + x)
x = 1, x = -1
untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 =
x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2
nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2
titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)
c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif.
 |
MODUL STATISTIK DAN PELUANG, compiled by: ENDRAWITA, S.Pd
DAFTAR PUSTAKA
Kuntarti Kurnianingsih, Sulistyono.
Matematika SMA dan MA 1A.
ESIS Erlangga. 2007
LKS
Simpati SMA. Matematika Untuk
Kelas XI Program IPA Semester 1 & 2.
CV
GRAHADI.Surakarta.
LKS Simpati SMA Matematika Untuk Kelas X
Semester 1 & 2.
CV GRAHADI.Surakarta.
Perangkat Pembelajaran SMA / MA. Mata Pelajaran
Matematika Kelas X – XII Semester 1 & 2. CV.
AZZAHRA. Jakarta.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk
SMA Kelas X, Penerbit Erlangga. Jakarta.
Suwah,Sembiring, dkk. Matematika Bilingual untuk SMA/MA Kelas
X Semester
1 dan
2. Yrama Widya. 2008
Tampomas, Husein. Seribu Pena Mateamtika SMU
Kelas 1. Erlangga. 1999
Willa Adrian Soekotjo Loedji. 2009. Matematika
Bilingual Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1&2. CV. Yrama Widya. Bandung.
MODUL STATISTIK DAN PELUANG, compiled by: ENDRAWITA, S.Pd
Tidak ada komentar:
Posting Komentar